衍生性商品的價值評價公式改良

衍生性商品的價值評價公式改良
第一節.選擇權買、賣權理論價值評價公式改良【認購(售)權證亦可比照適用】
一. 改良諾貝爾獎評價模型，B-S模型(Black-Scholes Option Pricing Model)，將標的物強弱指標X=S/A(S=標的物目前之價格；A=標的物10日平均價)及選擇權強弱指標Y=(S-K)/K(K=選擇權之履約價格)，分別取代標的物目前之價格S及標的物價格之波動率σ(標的物報酬率之瞬間標準差)等變數，以方便連接現有股市分析因子,使電腦程式計算自動化功能得以連續不斷，增進選擇權買權或賣權之理論價格計算效率，提高選擇權之操作績效。
² C=S*N(d1)-K*e(-r*T)*N(d2)
² P=-S*N(-d1)+K*e(-r*T)*N(-d2)
² d1=(ln(S/K)+r*T)/ (σ*T^0.5)+0.5* (σ*T^0.5)
² d2=d1-(σ*T^0.5)
式中
² C=買權價值
² P=賣權價值
² S=標的物目前之價格
² K=履約價格
² r=瞬間無風險利率(年利率)
² T=距履約日到期之時間(年)
² σ=標的物價格之波動性與風險性(標的物報酬率之瞬間標準差)
² ln(*)=自然對數
² N(*)=標準化常態分配之累積機率
二. σ是隱含於買、賣權內的波動度，會因買、賣權是價內、價平及價外而有所不同。在實務上，一般由相同標的股之幾種不同買權求算出數個隱含標準差。而後，以加權平均方式求算出最後的隱含標準差。買、賣權價格對股價變動愈敏感的買、賣權,其權數愈大。
三. 由d1=(ln(S/K)+r*T)/ (σ*T^0.5)+0.5* (σ*T^0.5)之公式看出，d1=F(S,K,r,T,σ)；一般而言，K,r等值在選擇權發行時為已知數，故d1=F(S,T,σ)。且在分析之當下，T為已知數，故d1=F(S,σ)。同理可證，由d2=d1-(σ*T^0.5)，亦可得d1=G(S,σ)。假設d1、d2可由σ值求出，則將d1及d2值分別拆成(百分位)及(十分位以上)兩部分,再分別去查附表(一)(累積標準常態分配機率:N(d1)、N(d2)及N(-d1)、N(-d2)中橫座標及縱座標交集之數值,即為N(d1)、N(d2)及N(-d1)、N(-d2)值。再由C=S*N(d1)-K*e(-r*T)*N(d2)之公式，可求出C值。另由P=-S*N(-d1)+K*e(-r*T)*N(-d2)之公式，可求出P值。
四.經上述說明，可歸納出C=F(S,N(d1),N(d2),σ), P=F(S,N(-d1),N(-d2),σ),而N(d1)、N(d2)及N(-d1)、N(-d2)值，可間接由σ值求出。故C=F(S,σ)，P=G(S,σ)。
五. 為方便連接現有股市分析因子,擬將標的物強弱指標X=S/A及選擇權強弱指標Y=(S-K)/K，分別取代S及σ等變數，則可歸納出C=F(X,Y)、P=G(X,Y)；經過試算，可設定不同條件之(X,Y)組合,得出不同條件之(N(d1)、N(d2) 及N(-d1)、N(-d2)理論值組合。
六. 經筆者以電腦程式試算，可歸納出下述表(一)之結果。有了表(一)買權係數N(d1)及N(d2)及賣權係數N(-d1)及N(-d2)試算結果統計表，則在任何時間，均能輕易地由標的物強弱指標X=S/A及選擇權強弱指標Y=(S-K)/K，利用表(一)查出買權係數N(d1)及N(d2) 及賣權係數N(-d1)及N(-d2) 。再將N(d1)值及N(d2)值套入C=S*N(d1)-K*e(-r*T)*N(d2)之公式中，得出買權理論價值C。另將N(-d1)值及N(-d2)值套入P=-S*N(-d1)+K*e(-r*T)*N(-d2)之公式中，得出賣權理論價值P。
七. 將買、賣權理論價值C、P與買、賣權市價C*、P*比較，可得合理投資價值百分比；即R=(C-C*)/C*、R=(P-P*)/P*。再將所有選擇權買權或賣權之當日合理投資價值作優劣比較並排序，即可作為當日選擇權買進或賣出之依據。
八. 實例說明:
u EX.1 設標的股目前價格S為50,履約價格K為48，瞬間無風險利率r為0.03，距履約日到期之時間為3月(=0.25年)，買權市價C*為3.5，且標的股之十日平均價A=49.5，求買權理論價值C？求買權合理投資價值R？
(SOL).
1. 已知條件: S=50, r=0.03, T=0.25, K=48, A=49.5
2. X=S/A=50/49.5=1.02
3. Y=(S-K)/K=(50-48)/48=0.042=4.2%
4. 由X=1.02,Y=4.2%,查表(一)，符合項次25(組合12)
Þ N(d1)=0.606，N(d2)=0.567
5. C=S*N(d1)-K*e(-r*T)*N(d2)=50*0.606-48* e(-0.03*0.25)*0.567=3.28
故C=MAX(0,(S-K),3.28)= MAX (0,(50-48),3.28)=3.28
Þ買權合理投資價值R=(C-C*)/C*=(3.28-3.5)/3.5=-6.3%。
u EX.2 設標的股目前價格S為150,履約價格K為160，瞬間無風險利率r為0.03，距履約日到期之時間為6月(=0.5年)，買權市價C*為1.0，且標的股之十日平均價A=155，求買權理論價值C？求買權合理投資價值R？
(SOL).
1. 已知條件: S=150, r=0.03, T=0.5, K=160, A=155
2. X=S/A=150/155=0.97
3. Y=(S-K)/K=(150-160)/160=-0.0625=-6.25%
4. 由X=0.97,Y=-6.25%,查表(一)，符合項次19(組合18)
Þ N(d1)=0.802，N(d2)=0.774
5. C=S*N(d1)-K*e(-r*T)*N(d2)=150*0.802-160* e(-0.03*0.5)*0.774=-1.70，
故C=MAX(0,(S-K),-1.70)= MAX (0,(150-160),-1.70)=0。
Þ買權合理投資價值R=(C-C*)/C*=(0-1.0)/1.0=-100%。
u EX.3 設標的股目前價格S為100,履約價格K為105，瞬間無風險利率r為0.03，距履約日到期之時間為6月(=0.5年)，賣權市價P*為4.0，且標的股之十日平均價A=110，求賣權理論價值P？求賣權合理投資價值R？
(SOL).
1. 已知條件: S=100, r=0.03, T=0.5, K=105, A=110
2. X=S/A=100/110=0.91
3. Y=(S-K)/K=(100-105)/105=-0.048=-4.8%
4. 由X=0.91,Y=-4.8%,查表(二)，符合項次19(組合18)
Þ N(-d1)=0.789，N(-d2)=0.779
5. P=-S*N(-d1)+K*e(-r*T)*N(-d2)=-100*0.789+105* e(-0.03*0.5)*0.779=1.68
故P=MAX(0,(K-S),1.68)= MAX (0,(105-100),1.68)=5。
Þ賣權合理投資價值R=(P-P*)/P*=(5-4.0)/4.0=25%。

u EX.4 設標的股目前價格S為150,履約價格K為140，瞬間無風險利率r為0.03，距履約日到期之時間為6月(=0.5年)，賣權市價P*為0.5，且標的股之十日平均價A=145，求賣權理論價值P？求賣權合理投資價值R？
(SOL).
1. 已知條件: S=150, r=0.03, T=0.5, K=140, A=145
2. X=S/A=150/145=1.034
3. Y=(S-K)/K=(150-140)/140=0.071=7.14%
4. 由X=1.034,Y=7.14%,查表(二)，符合項次25(組合12)
ÞN(-d1)=0.669，N(-d2)=0.641
5. P=-S*N(-d1)+K*e(-r*T)*N(-d2)=-150*0.669+140* e(-0.03*0.5)*0.641=-11.9，
故P=MAX(0,(K-S),-11.9)= MAX (0,(140-150),-11.9)=0。
Þ賣權合理投資價值R=(P-P*)/P*=(0-0.5)/0.5=-100%。



表(一) 買權係數N(d1)及N(d2)及賣權係數N(-d1)及N(-d2)試算結果統計表
項次 組合 標的物
強弱指標
X=S/A 選擇權強弱指標
Y=(S-K)/K 買權N(d1) 買權N(d2) 賣權N(-d1) 賣權N(-d2)
下限值 上限值
1 1 X<0.88 >=37.5% NO 0.999 0.999 0.993 0.989
2 5 X<0.88 >=17.5% <=32.5% 0.999 0.999 0.961 0.947
3 24 X<0.88 >=-32.5% <=-17.5% 0.999 0.999 0.972 0.962
4 26 X<1 >-37.5% <-32.5% 0.999 0.999 0.995 0.992
5 28 X=ANY NO <=-37.5% 0.999 0.998 0.999 0.998
6 3 X<1 >32.5% <37.5% 0.997 0.997 0.983 0.976
7 27 X>=1 >-37.5% <-32.5% 0.995 0.992 0.999 0.999
8 2 X>=0.88 >=37.5% NO 0.993 0.989 0.999 0.999
9 22 X<0.88 >-17.5% <-12.5% 0.993 0.991 0.889 0.867
10 7 X<0.88 >12.5% <17.5% 0.991 0.989 0.901 0.871
11 4 X>=1 >32.5% <37.5% 0.983 0.976 0.997 0.997
12 25 X>=0.88 >=-32.5% <=-17.5% 0.972 0.962 0.999 0.999
13 6 X>=0.88 >=17.5% <=32.5% 0.961 0.947 0.999 0.999
14 9 X<1 >=7.5% <=12.5% 0.927 0.914 0.803 0.761
15 20 X<1 >=-12.5% <=-7.5% 0.916 0.900 0.767 0.718
16 8 X>=0.88 >12.5% <17.5% 0.901 0.871 0.991 0.989
17 23 X>=0.88 >-17.5% <-12.5% 0.889 0.867 0.993 0.991
18 10 X>=1 >=7.5% <=12.5% 0.803 0.761 0.927 0.914
19 18 X<1 >-7.5% <-2.5% 0.802 0.774 0.789 0.779
20 19 X>=1 >-7.5% <-2.5% 0.789 0.779 0.802 0.774
21 21 X>=1 >=-12.5% <=-7.5% 0.767 0.718 0.916 0.900
22 17 X=ANY >=-2.5% <0% 0.693 0.68 0.693 0.68
23 11 X<1 >2.5% <7.5% 0.669 0.641 0.606 0.567
24 13 X<1 >0% <=2.5% 0.639 0.605 0.582 0.547
25 12 X>=1 >2.5% <7.5% 0.606 0.567 0.669 0.641
26 16 X>=1 0% 0% 0.587 0.574 0.573 0.556
27 14 X>=1 >0% <=2.5% 0.582 0.547 0.639 0.605
28 15 X<1 0% 0% 0.573 0.556 0.587 0.574



表中A=(S+S-1+ S-2+S-3+S-4+S-5+S-6+S-7+S-8+S-9)/10-----係10日平均價



附表(一):累積標準常態分配機率:N(d1)及N(d2)
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8289
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8660 0.8888 0.8907 0.8925 0.8943 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9960 0.9961 0.9962 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990


查表須知:
Ø 將d1及d2值分別拆成(百分位)及(十分位以上)兩部分,再分別去查橫座標及縱座標交集之數值,即為N(d1)及N(d2)值